integrales

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma deinfinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y signo negativo cuando toma valores negativos.

NOTACION DE SUMA SIGMA O SUMAS DE RIEMMAN
Los números cuya suma se indica en una notación sigma pueden ser naturales, complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la suma tiene un número infinito de términos, se conoce como serie infinita.

Dada una sucesión:
$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},...$

Ésta se puede representar como la suma de los $n$ primeros términos con la notación de sumatoria o notación sigma. El nombre de esta notación se denomina de la letra griega $\sum$ (sigma mayúscula, que corresponde a nuesta S de "suma" ). La notación sigma es de la siguiente manera:

$\sum_{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+...+a_{n}$

EJEMPLO:

Evaluando la suma de Riemann en cuatro subintervalos tomando los puntos de la derecha de la siguiente función: $f(x)=2-x^2$ ,límites $[0,2]$

$=\sum_{i=1}^{4}f(x_i) dx$

$=0.5[f(0.5)+f(1)+f(1.5)+f(2)]$

$=0.5[1.75+1-0.25-2]$ $=0.5(0.5)=0.25$

EJEMPLO 2:

Evaluando la suma de Riemann en seis subintervalos tomando los puntos de la izquierda de la siguiente función: $f(x)=ln-1$ ,límites $[1,4]$

$=\sum_{i=1}^{6}f(x_i) dx$
$=0.5[f(1)+f(1.5)+f(2)+f(2.5)+f(3)+f(3.5)]$
$=0.5(-1-0.5945349-0.3068528-0.0837093+0.0986123+0.25273)$
$=0.5(-1.6337217)=-0.816861$

EJEMPLO 3:

Evaluando la suma de Riemann en seis subintervalos tomando los puntos de la derecha de la siguiente función:

$f(x)=x-2sen(2x)$ ,límites $[0,3]$

$=\sum_{i=1}^{6}f(x_i) dx$
$=0.5[f(0.5)+f(1)+f(1.5)+f(2)+ f(2.5)+f(3)]$
$=5.353254$

EJEMPLO 4:
Evaluando la suma de Riemann en cinco subintervalos tomando los puntos medios de la siguiente función:

$f(x)=sqrt(x)-1$ ,límites $[1,6]$

$=\sum_{i=1}^{5}f(x_i) dx$
$=1[f(1.5)+f(2.5)+f(3.5)+f(4.5)+f(5.5)]$
$=-0.856759$

INTEGRAL DEFINIDA Y SUS PROPIEDADES:

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

La integral definida se representa por .

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

PROPIEDADES

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

EJEMPLOS:

1.

SOLUCION

SOLUCION

SOLUCION.

SOLUCION

INTEGRACIÓN POR PARTES

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'

EJEMPLOS.

Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.

EJEMPLO 2:

Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando: v' = 1.

EJMPLO 3:

Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación.

EJEMPLO 4:

INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES

La Integración mediante fracciones parciales, es uno de los metodos de Integración mas facil, en donde la forma a seguir esta dada (se podría decir), por unos criterios.
Definición: Se llama función racional a toda función del tipo

En donde y son polinomios con coeficientes reales, y gradoEjemplo:
¿Cómo descomponer una función racional en fracciones parciales?

CASO 1:

Factores Lineales Distintos.
A cada factor lineal, ax+b, del denominador de una fraccion racional propia (que el denominador se puede descomponer), le corresponde una fracción de la forma ,

siendo A una constante a determinar.

Ejemplo 1:

luego nos queda la siguiente igualdad o tambien lo podemos escribir 1 = ( A + B )x + 2A - 2B

Haciendo un Sistema.A + B = 02A - 2B = 1 , las soluciones son : Quedando de esta manera:con lo cual

CASO 2:

Factores Lineales Iguales.A cada factor lineal, ax+b,que figure n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

EJEMPLO:Calculemos la siguente integral

Pero:

Tendremos

Amplificando por

Las Soluciones son:

Nos queda:

CASO 3:

Factores Cuadráticos Distintos.A cada factor cuadrático reducible, que figure en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una fracción de la forma siendo A y B constantes a determinar.

EJEMPLO:

Calcular:

Con lo que se obtiene
de donde

luego los valores a encontrar son.

A = 0 , B = 1 , C = 1 , D = 0

CASO 4:

Factores cuadráticos Iguales

A cada factor cuadrático irreducible, que se repita n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

siendo los valores de A y B constantes reales.

EJEMPLO:

Calcular la siguente integral:tendremos que por tanto multiplicando a ambos

lados de la igualdad por el minimo común denominador tenemos

Donde los valores de las constantes sonA = 0 , B = 2 , C = 0 , D = 1De donde remplazando e integrando a primitivas se obtiene.

CURIOSIDADES:

EJEMPLO PRÁCTICO DEL USO DE INTEGRALES

4.1. Cálculo de áreas por geometría básica

Un coche se mueve variando su velocidad a lo largo del tiempo siguiendo la trayectoria de la figura:

Figura 1. Velocidad de un móvil respecto al tiempo

La integral es el cálculo del área que existe entre la función (la línea naranja) y el eje de abscisas (el eje X) entre dos intervalos cualesquiera (en este caso, de tiempo), siendo el área que queda por encima (del eje X) positiva y por debajo negativa. Para no profundizar en la integración y facilitar la asimilación del concepto, vamos a tomar un intervalo cuya área podamos calcular por geometría básica, por ejemplo el intervalo de tiempo (0 , 5) segundos:

Cita:

“ Estaban en mi presencia dos niñas jugando con un trompo,
y apenas yo vi el movimiento y la figura cuando empecé, con esta mi locura,
a considerar el facíl moto de la forma esférica, y como duraba
el impulso ya impreso e independiente de su causa, pues distante la mano de la niña,
que era la causa motiva, bailaba el trompillo;
y no contenta con esto, hice traer harina y cernerla
para que, embailando el trompo encima, se conociese
si eran circulos perfectos o no los que describia con su movimiento;
y halle que no era sino unas líneas espirales que iban perdiendo
lo circular cuando se iba remitiendo el impulso”

En una fiesta de funciones están todas bailando. Sin embargo la función exponencial está apartada en un rincón, sentada en una silla. Le ve la función arcotangente y se acerca para animarla:
—¿Pero qué haces aquí? Venga, ¡intégrate!
—¿Para qué? Si da lo mismo...

ENLACES:

http://ima.ucv.cl/hipertexto/calculo2/lianggi/materia.htm

http://www.vitutor.com/integrales/metodos/integral_partes.html

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miércoles, 10 de abril de 2013